1.17世纪初期，欧洲学术界对于几何和物理问题的求解方法仍然局限于古代几何学家和阿基米德所发展的方法。直到1637年，法国数学家文森特·维达尔（Vincent Vardill）在他的著作《几何解析》中提出了“无穷小”概念，这为后来的微积分理论奠定了基础。

2.1706年，莱布尼茨开始在汉堡大学教授哲学时，他对算术和几何有着浓厚兴趣。他试图将函数的变化率用一种新的方法来描述，并且他发现了导数的概念。然而，由于当时科学技术不发达，莱布尼茨无法找到合适的手段来计算这些变化率，因此他的工作长时间未被广泛认可。

3.1699年至1710年的间隔期间，牛顿也独立思考并发展出了类似的微积分理论。他使用的是“瞬态”或“瞬间”的概念，而不是莱布尼茨提出的“无穷小”。牛顿发现，如果一个函数随时间或空间逐渐变化，那么这个函数关于某个点的增量可以通过该点附近的小片面积来近似表示。这就是我们今天称之为微元或扇形面积原理的一种表述。

4.两位科学家的研究虽然相互独立，但他们最终都推翻了传统意义上的均匀测量方式，将分析几何从静态转变为了动态，从而开启了新时代。他们分别给出了一系列基本定理，如莱布尼茨关于导数和牛顿关于差分的一系列定义、规则以及应用。此外，他们还各自开发了一套符号系统，用以表达这些新概念，这些符号如今成为现代数学中的标准工具之一。

5.尽管如此，由于争议、误解甚至个人恩怨等多种原因，使得两个人的贡献最初并没有得到公正评价。在18世纪早期，一场激烈而持续很长时间的人物评判战爆发，其中包括涉及到了版权争端、道德指责乃至政治干预。这场辩论一直持续到19世纪才逐渐平息下来，为历史上这段重要事件提供了清晰的地标性事件。