欧几里生活的时代背景

在公元前3世纪，古希腊是一个文化繁荣的时期。哲学、文学、艺术和科学都达到了高峰。这个时候，数学也逐渐从实用工具发展为一门独立的学科。欧几里的生活环境对他研究和创作产生了深远影响。

欧几里的成就及其著作《要素》

《要素》（Elements）是欧几里最著名的作品，也是世界上最重要的一部数学经典。这本书详细地介绍了平面几何和三维空间中的点、线、角、多边形以及球体等概念，并以严格逻辑性质证明了一系列定理，如毕达哥拉斯定理、三角形内角和等于180度，以及许多其他关于直线交叉点位置关系的定理。

不等式在《要素》的应用

在《要素》中，虽然直接讨论不等式的问题并不多，但其蕴含着很多不等式问题。在处理三角形或四边形时，通过测量方法或者利用已知信息，可以推导出许多有用的不等式，比如三角形两边之比小于第三边之比，这些都是后来发展出代数不等性的基础。

古代数学家对于证明方法的探索

欧几里的证明方式极大地影响了后世。他采用了自明原则，即如果一个结论显然正确，那么它就是真实无误。他还使用了比例传递原则，即如果两个对象具有相同比例，那么它们将保持这一比例。如果把这些原则应用到现代意义上的代数运算中，就可以建立起一种类似于代数不等性的理论框架。

后世对欧氏Geometry 的贡献与批评

对于欧氏Geometry（即基于直观空间感受而不是抽象符号运算），后来的数学家们提出了一系列批评。例如，以意大利人费勒马基诺（Fermat）为代表的一群人，他们提出了非欧clidean Geometry，即曲率不同的空间，使得直线可能会弯曲，从而构建出了更广泛的宇宙模型。但同时，这种挑战也促使人们进一步思考如何将抽象化的手段融入到原本依赖直观感受的地图绘制中去。